초켈러 다양체

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

초켈러 다양체는 매끄러운 다양체의 접다발에 사원수 대수의 구조가 주어진 것으로, 리만 다양체 위에 초켈러 구조를 갖춘 다양체를 의미한다. 초켈러 구조는 세 개의 복소구조가 주어지고, 각 복소구조가 켈러 구조를 이루는 경우를 말한다. 초켈러 다양체는 4의 배수 차원을 가지며, 호지 수와 베티 수에 특수한 제약이 존재한다. 또한, 정칙 심플렉틱 형식을 가지며, 칼라비-야우 정리에 따라 정칙 심플렉틱 형식을 갖는 켈러 다양체는 초켈러 다양체가 된다. 이러한 다양체는 비선형 시그마 모형의 모듈러스 공간, 2차원 초등각 장론 등 초대칭 게이지 이론과 밀접한 관련이 있다. 초켈러 다양체는 1979년 칼라비에 의해 처음 소개되었으며, 홀로노미 군이 심플렉틱 군에 포함되는 리만 다양체와 동치이다.

더 읽어볼만한 페이지

사원수 - 사원수 벡터 공간
사원수 벡터 공간은 환론의 가군, 복소수 벡터 공간 위의 사원수 구조, 실수 벡터 공간 위의 사원수 구조를 통해 정의되며, 이 세 가지 정의는 서로 동치이다.
사원수 - 3차원 초구
3차원 초구는 4차원 공간에서 중심으로부터 일정한 거리에 있는 점들의 집합이자, 노름이 1인 사원수 공간으로 간주되며, 콤팩트하고 연결된 단순 연결 3차원 다양체이다.
대수기하학 - 타원곡선
타원곡선은 체 위에서 정의되고 특이점이 없으며 종수가 1인 사영 대수 곡선으로, 유리점을 가지며, 특정 형태의 방정식으로 표현되고, 실수체 위에서는 연결 성분 개수가 판별식에 따라 달라지며, 복소수체 위에서는 원환면과 위상적으로 동형이고, 점들 간에 군 연산이 정의되어 암호학 및 정수론에 활용된다.
대수기하학 - 매끄러운 함수
매끄러운 함수는 함수의 미분 가능성을 나타내는 척도로, k번 미분 가능하고 그 미분 함수가 연속일 경우 C^k로 표기하며, 무한히 미분 가능한 함수를 의미하고, 곡선의 부드러움을 측정하는 데 활용된다.
미분기하학 - 가우스 곡률
가우스 곡률은 3차원 유클리드 공간에 놓인 곡면의 두 주곡률의 곱으로, 곡면의 형태를 나타내는 지표이며 곡면 자체의 길이 측정만으로 결정되는 내재적인 값이다.
미분기하학 - 가우스의 빼어난 정리
가우스의 빼어난 정리는 곡면의 가우스 곡률이 외부 공간이 아닌 곡면 자체의 리만 계량만으로 결정된다는 정리로, 곡면의 변형 시 가우스 곡률이 보존됨을 의미하며, 지도 제작의 불가능성 증명과 고차원 리만 다양체 일반화에 응용되어 미분기하학과 일반 상대성 이론의 기초가 된다.

초켈러 다양체
정의
설명	리만 다양체 (또는 준 리만 다양체) M은 다음 조건을 만족하는 경우 초켈러이다.
조건
조건 1	M의 홀로노미 그룹은 Sp(n)이다. 여기서 .
조건 2	M은 켈러 다양체인 복소 구조 I, J, K를 갖는다. 이는 사원수 관계 I² = J² = K² = IJK = −1을 만족시킨다.
조건 3	M은 켈러 형식 ωI, ωJ, ωK를 갖는다. 이는 쌍선형 형식 가 I, J, K에 대해 동일하다는 조건을 만족시키는 리만 계량 g에 대해 자명하다.
추가 설명
Sp(n)	Sp(n)은 특수 유니타리 군 SU(2n)의 부분군이다.
참고 문헌
참고 문헌 1	Calabi, Eugenio (1979). Métriques kählériennes et fibrés holomorphes. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Quatrième Série, 12(2), 269–294.
참고 문헌 2	Hitchin, Nigel (1991-11). Hyperkähler manifolds. Séminaire N. Bourbaki, 34(748), 137–166.
참고 문헌 3	Huybrechts, Daniel (1998). Compact hyperkähler manifolds: basic results.

2. 정의

초켈러 다양체는 세 개의 복소 구조를 가지는 매끄러운 다양체로, 이 구조는 사원수 대수와 호환되며 켈러 구조를 이룬다.

초켈러 다양체는 동치적으로, 홀로노미 군이 콤팩트 심플렉틱 군 $\operatorname{Sp}(n)$ 에 포함되는 차원 $4n$ 의 리만 다양체이다.^[1]

$(M, g, I, J, K)$ 가 초켈러 다양체라면, 접선 공간 $T_x M$ 은 $M$ 의 각 점 $x$ 에서 사원수 벡터 공간이 되며, 어떤 정수 $n$ 에 대해 $\mathbb{H}^n$ 과 동형이다. 여기서 $\mathbb{H}$ 는 사원수의 대수이다. 콤팩트 심플렉틱 군 $\operatorname{Sp}(n)$ 은 $I$ , $J$ , $K$ 에 대해 선형인 $\mathbb{H}^n$ 의 직교 변환 군으로 간주될 수 있다. 이를 통해 리만 다양체 $(M, g)$ 의 홀로노미 군이 $\operatorname{Sp}(n)$ 에 포함됨을 알 수 있다.

반대로, 차원 $4n$ 의 리만 다양체 $(M, g)$ 의 홀로노미 군이 $\operatorname{Sp}(n)$ 에 포함된다면, $T_x M$ 을 사원수 벡터 공간으로 만드는 복소 구조 $I_x$ , $J_x$ , $K_x$ 를 선택할 수 있다. 이러한 복소 구조의 평행 이동은 $(M, g, I, J, K)$ 를 초켈러 다양체로 만드는 $M$ 에 대한 복소 구조 $I$ , $J$ , $K$ 를 제공한다.

Sp(''k'')는 ''I'', ''J'', ''K''에 관해 선형인 $\mathbb{R}^{4k}=\mathbb{H}^k$ 의 직교 변환군으로 생각할 수 있다. 이로부터, 다양체의 홀로노미는 Sp(''k'')에 포함됨을 알 수 있다.

2. 1. 초복소 다양체

매끄러운 다양체

M

이 주어졌을 때, 접다발의 대수

:

\operatorname{End}(\operatorname TM) = \Omega^1(M;\operatorname TM)

를 생각하자. 실수체 위의 결합 대수의 준동형

:

\mathcal J\colon\mathbb H \to \operatorname{End}(\operatorname TM)

이 주어졌다고 하자. 만약 절댓값 1의 순허수 사원수

q\in \mathbb H

,

\bar q=-q=q^{-1}

에 대하여

\mathcal J(q)

가 항상 복소구조라면,

(M,\mathcal J)

를 '''초복소다양체'''(hypercomplex manifold^영어)라고 한다.

즉, 세 복소구조

:

\mathcal J(\mathrm i) = I

:

\mathcal J(\mathrm j) = J

:

\mathcal J(\mathrm k) = K

가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

:

I^2 = J^2 = K^2 = -1

:

IJ = -JI = K

:

JK = -KJ = I

:

KI = -IK = J

이는 사원수 대수의 관계를 나타낸다. 즉, 초복소다양체 위에는 복소구조의 모듈라이 공간

\mathbb S^2 = \{q\in\mathbb H\colon \bar q=-q=q^{-1}\}

이 존재한다.

2. 2. 초켈러 구조

리만 다양체

(M,g)

위의 초복소구조

\mathcal J

가운데,

q\in \operatorname{Im}\mathbb H

,

\|q\|=1

,

\bar q=-q

일 때

\mathcal J(q)

가 항상 켈러 구조를 이루면,

\mathcal J

를 '''초켈러 구조'''라고 한다. 즉, 초켈러 다양체 위에는 켈러 구조의 모듈라이 공간

\mathbb S^2 = \{q\in\mathbb H\colon \bar q=-q=q^{-1}\}

이 존재한다.

구체적으로, 리만 다양체

(M,g_{\mu\nu})

위의 '''초켈러 구조'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.^[18]

세 개의 (1,1)차 텐서장 $J^{\mu i}_\nu$ ( $i=1,2,3$ 은 $\mathfrak{su}(2)$ 좌표)

이들은 다음 조건을 만족시킨다.

$J^{\mu i}_\nu J^{\nu j}_\rho=-\delta^{ij}\delta^\mu_\rho-\epsilon^{ij}{}_kJ^{\mu k}_\rho$ (사원수 대수 및 개복소구조)
$g_{\mu\nu}J^{\mu i}_{\mu'}=-g_{\mu'\nu'}J^{\nu'i}_\nu$ (에르미트성)
$\nabla_\mu J^{\nu i}_\rho=0$ (복소구조의 적분가능성)

이들로부터 세 개의 심플렉틱 구조

:

\omega_{\mu\nu}^i=J^{\mu'i}_\mu g_{\mu'\nu}

를 정의할 수 있다.

초켈러 다양체는 계량이 켈러라는 점 외에도 복소 구조를 갖는 2차원 구면이다(즉, 적분 가능한 개복소구조를 갖는다).

특히, 이러한 다양체는 개사원수 다양체이며, 3개의 서로 다른 복소 구조 ''I'', ''J'', ''K''가 존재하고, 사원수의 관계식

:

I^2 = J^2 = K^2 = IJK = -1\,

을 만족한다.

실수

a, b, c

가

:

a^2 + b^2 + c^2 = 1 \,

을 만족할 때의 임의의 선형 결합

:

aI + bJ + cK \,

또한, ''M'' 위의 복소 구조이다. 특히, 접공간 ''T''_''x''''M''은, 각 점 ''x''에서 사원수 벡터 공간이다.

3. 성질

켈러 다양체의 실수 차원이 항상 2의 배수인 것처럼, 초켈러 다양체의 실수 차원은 항상 4의 배수이다.

3. 1. 위상수학적 성질

다양체가 초켈러 다양체의 구조를 가지려면, 위상수학적으로 특수한 성질들을 만족시켜야 한다.^[15]

4n

차원 콤팩트 초켈러 다양체의 베티 수 (

b_k

) 및 오일러 지표 (

\chi(M)

)에 대하여, 다음이 성립한다.^[16]

$\sum_{k=0}^{4n}(-1)^k(6k^2-2n(12n+1))b_i=0$
$b_{2k}\ge\binom{k+2}2\qquad(k\le n)$
$4\mid b_{2k+1}\forall k$
$12\mid n\chi(M)$

8차원 콤팩트 초켈러 다양체의 가능한 베티 수에 대해서는 많은 정보가 알려져 있다.^[17]

3. 2. 호지 이론적 성질

4n

차원 콤팩트 초켈러 다양체의 호지 수

h^{p,q}

에 대하여, 다음이 성립한다.^[16]

:

h^{p,q}=h^{q,p}=h^{2n-p,2n-q}=h^{2n-q,2n-p}=h^{2n-p,q}=h^{2n-q,p}\qquad\forall 0\le p,q\le 2n

:

h^{p,q}\ge h^{p+1,q-1}\forall p\ge q

3. 3. 리만 기하학적 성질

4n

차원 초켈러 다양체의 홀로노미는

\operatorname{USp}(4n)

의 부분군이다. 따라서 모든 초켈러 다양체는 칼라비-야우 다양체이자 사원수 켈러 다양체이다. (칼라비-야우 다양체는 홀로노미가

\operatorname{SU}(n)

의 부분군인 경우고, 사원수 켈러 다양체는 홀로노미가

\operatorname{USp}(4n)\times\operatorname{USp}(4)

인 경우다.

\operatorname{USp}(4n)\subset\operatorname{SU}(4n)

이다.)

초켈러 다양체 ''M''은 계량이 켈러라는 점 외에도 복소 구조를 갖는 2차원 구면이다(즉, 적분 가능한 개복소구조를 갖는다).

특히, 이러한 다양체는 개사원수 다양체이며, 서로 다른 3개의 복소 구조 ''I'', ''J'', ''K''가 존재하고, 사원수의 관계식

:

I^2 = J^2 = K^2 = IJK = -1\,

을 만족한다. 실수

a, b, c

가

:

a^2 + b^2 + c^2 = 1 \,

을 만족할 때, 임의의 선형 결합

:

aI + bJ + cK \,

또한 ''M'' 위의 복소 구조이다. 특히, 접공간 ''T''_''x''''M''은 각 점 ''x''에서 사원수 벡터 공간이다. Sp(''k'')는 ''I'', ''J'', ''K''에 관해 선형인

\mathbb{R}^{4k}=\mathbb{H}^k

의 직교 변환군으로 생각할 수 있다. 이로부터, 다양체의 홀로노미는 Sp(''k'')에 포함됨을 알 수 있다. 반대로, 리만 다양체 ''M''의 홀로노미 군이 Sp(''k'')에 포함되어 있다면, 복소 구조 ''I''_''x'', ''J_x'', ''K''_''x''을 ''T''_''x''''M''에서 선택하고, ''T''_''x''''M''을 사원수 벡터 공간 안으로 사상할 수 있다. 이러한 복소 구조의 평행 이동은 구하는 ''M'' 위의 사원수 다양체 구조를 가져온다.

초켈러 다양체 ''(M,I,J,K)''는 복소다양체 (''M'',''I'')로 간주될 때 정칙 심플렉틱 다양체(정칙 비퇴화 2-형식을 가짐)이다. 콤팩트 다양체의 경우, 역 또한 성립한다는 것이 야우의 칼라비 추측 증명 과정에서 제시되었다. 콤팩트 켈러 심플렉틱 다양체 (''M'',''I'')가 주어지면, 항상 정합성을 갖는 초켈러 계량을 가진다. 그러한 계량은 주어진 켈러 클래스에 대해 유일하다. 콤팩트 켈러 다양체는 대수기하학의 기술을 사용하여 확장 연구되며, 정칙 심플렉틱 기하학이라고도 불린다. Fedor Bogomolov|표도르 보고몰로프^영어 분해 정리(1974)에 의해, 콤팩트 정칙 심플렉틱 다양체 ''M''의 홀로노미 군이 정확히 Sp(''k'')가 되는 것과, ''M''이 단일 연결이며, ''M'' 위의 임의의 정칙 심플렉틱 형식 쌍이 서로 스칼라 배가 되는 것은 동치이다.

3. 4. 복소기하학적 성질

초켈러 다양체

(M,\omega_1,\omega_2,\omega_3)

에서 임의의 심플렉틱 형식

\omega_1

을 선택하여 켈러 다양체로 볼 수 있다. 이 때, 2차 복소수 미분 형식

:

\omega_{\mathbb C} = \omega_2 + \mathrm i\omega_3 \in \Omega^{2,0}(M)

은 정칙 미분 형식이며, 켈러 다양체

(M,\omega_1)

위의 심플렉틱 형식을 이룬다. 이를 '''정칙 심플렉틱 형식'''(holomorphic symplectic form^영어)이라고 한다. 즉, 이 경우 두 심플렉틱 형식

:

\omega_1 = \omega_{\mathbb R} \in \Omega^{1,1}(M)

:

\omega_{\mathbb C} \in \Omega^{2,0}(M)

이 존재한다.

반대로, '''칼라비-야우 정리'''(Calabi–Yau theorem^영어)에 따라, 정칙 심플렉틱 형식을 갖춘 콤팩트 켈러 다양체는 항상 초켈러 다양체가 된다. (콤팩트 조건을 생략할 수 없다.)^[8]

초켈러 다양체

(M, g, I, J, K)

는 복소다양체

(M, I)

로 간주될 때 정칙 심플렉틱(정칙적이고 비퇴화이며 닫힌 2-형식)이다.

\omega_I, \omega_J, \omega_K

가 각각

(g, I), (g, J), (g, K)

의 켈러 형식을 나타내면,

:

\Omega := \omega_J + i\omega_K

는

I

에 대해 정칙 심플렉틱이다.

선싱퉁 야우의 칼라비 추측 증명은 콤팩트, 켈러, 정칙 심플렉틱 다양체

(M,I,\Omega)

는 항상 호환되는 초켈러 메트릭을 갖는다는 것을 의미한다. 이러한 메트릭은 주어진 켈러 클래스에서 유일하다. 콤팩트 초켈러 다양체는 때때로 "정칙 심플렉틱 다양체"라는 이름으로 대수 기하학 기법을 사용하여 광범위하게 연구되어 왔다.

복소 차원

2n

이고

H^{2,0}(M)=1

인 단일 연결된 콤팩트 정칙 심플렉틱 다양체의 모든 칼라비-야우 메트릭의 홀로노미 군은 정확히 Sp(''n'')이다. 그리고 단일 연결된 칼라비-야우 다양체가 대신

H^{2,0}(M)\geq 2

를 가지면, 이는 하위 차원 초켈러 다양체의 리만 곱일 뿐이다. 이 사실은 켈러 다양체의 정칙 형식에 대한 보흐너 공식과 홀로노미 군의 Berger 분류로부터 즉시 따른다.

4. 사원수 구조

초켈러 다양체는 리만 다양체 $(M,g)$ 위에 정의된 초복소구조 $\mathcal J$ 를 갖는 다양체이다. 여기서 초복소구조 $\mathcal J$ 는 절댓값이 1인 순허수 사원수 $q$ 에 대해 $\mathcal J(q)$ 가 항상 켈러 구조가 되는 구조를 의미한다. 이러한 초켈러 구조를 갖춘 리만 다양체를 초켈러 다양체라고 한다.

초켈러 다양체 위에는 켈러 구조의 모듈라이 공간 $\mathbb S^2 = \{q\in\mathbb H\colon \bar q=-q=q^{-1}\}$ 이 존재한다. 즉, 초켈러 구조는 세 개의 (1,1)차 텐서장 $J^{\mu i}_\nu$ ( $i=1,2,3$ 은 $\mathfrak{su}(2)$ 좌표)로 주어지며, 다음 조건을 만족시킨다.^[18]

$J^{\mu i}_\nu J^{\nu j}_\rho=-\delta^{ij}\delta^\mu_\rho-\epsilon^{ij}{}_kJ^{\mu k}_\rho$ (사원수 대수 및 개복소구조)
$g_{\mu\nu}J^{\mu i}_{\mu'}=-g_{\mu'\nu'}J^{\nu'i}_\nu$ (에르미트성)
$\nabla_\mu J^{\nu i}_\rho=0$ (복소구조의 적분가능성)

이들 데이터로부터 세 개의 심플렉틱 구조

\omega_{\mu\nu}^i=J^{\mu'i}_\mu g_{\mu'\nu}

를 정의할 수 있다.

초켈러 다양체는 2-구의 복소 구조를 가지며, 이 구조에 대해 계량

g

는 Kähler이다.

a^2 + b^2 + c^2 = 1

을 만족하는 임의의 실수

a, b, c

에 대해,

aI + bJ + cK

는

g

에 대해 Kähler인 복소 구조를 이룬다.

또한, 초켈러 다양체는 복소 구조를 갖는 2차원 구면이며, 세 개의 서로 다른 복소 구조 ''I'', ''J'', ''K''가 존재하고, 사원수의 관계식

:

I^2 = J^2 = K^2 = IJK = -1\,

을 만족한다.

4. 1. 홀로노믹 심플렉틱 형식

초켈러 다양체

(M,\omega_1,\omega_2,\omega_3)

를 복소 다양체로 간주할 때, 정칙 심플렉틱 형식을 갖는다.

\omega_1

을 심플렉틱 형식으로 골라 켈러 다양체로 여기면, 2차 복소수 미분 형식

\omega_{\mathbb C} = \omega_2 + \mathrm i\omega_3 \in \Omega^{2,0}(M)

은 정칙 미분 형식이며, 켈러 다양체

(M,\omega_1)

위의 심플렉틱 형식을 이룬다. 이를 '''정칙 심플렉틱 형식'''(holomorphic symplectic form^영어)이라고 한다.

반대로, '''칼라비-야우 정리'''(Calabi–Yau theorem^영어)에 따라, 정칙 심플렉틱 형식을 갖춘 콤팩트 켈러 다양체는 항상 초켈러 다양체를 이룬다. (콤팩트 조건을 생략할 수 없다.)^[8] 콤팩트 초켈러 다양체는 "정칙 심플렉틱 다양체"라는 이름으로 대수 기하학 기법을 사용하여 광범위하게 연구되기도 한다.

5. 예시

복소 곡면에 대한 고다이라의 분해에 의해 임의의 콤팩트 4차원 초켈러 다양체는 K3 곡면이거나 콤팩트 토러스 $T^4$ 이다.^[8] (SU(2)는 Sp(1)과 동형이므로 모든 4차원 칼라비-야우 다양체는 초켈러 다양체이다.)

4차원 콤팩트 초켈러 다양체의 점들의 힐베르트 스킴은 초켈러 다양체이다. 이 사실은 콤팩트한 예에 두 가지 계열, 즉 K3 곡면 위의 점들의 힐베르트 스킴과 일반화된 쿰머 다양체를 가져온다.

사원수를 '''H'''로, Sp(1)의 유한 부분군을 ''G''로 할 때, '''H'''/''G''에 점근하는 비콤팩트 완비 4차원 초켈러 다양체는 ALE 공간으로 알려져 있다.^[8] 이러한 공간과 다른 점근적 거동을 보이는 다양한 일반화는 물리학에서 중력 인스턴톤이라는 이름으로 연구되고 있다. 기번스-호킹 안자츠는 원 작용 하에서 불변인 예시를 제공한다.

많은 비콤팩트 초켈러 다양체의 예는 반자기 쌍대 양-밀스 방정식의 차원 축소에서 발생하는 특정 게이지 이론 방정식의 해의 모듈라이 공간으로 나타난다.^[9] 인스턴톤 모듈라이 공간,^[10] 모노폴 모듈 공간,^[11] 리만 곡면에 대한 히친의 자기 쌍대 방정식의 해의 공간, Nahm 방정식의 해의 공간 등이 있다. 또 다른 예시 종류는 나카지마의 퀘이버 다양체이며,^[12] 이는 표현론에서 매우 중요하다.

5. 1. 평탄한 초켈러 다양체

정수

n \ge 1

에 대해, 사원수의

n

튜플의 공간

\mathbb{H}^n

에 평탄 유클리드 메트릭을 부여한 것은 초켈러 다양체이다.^[1]

5. 2. 에구치-핸슨 공간

구의 여접다발

T^*S^2

에 대한 에구치-핸슨 메트릭은 초켈러 다양체의 비자명 예시이다.^[1]

5. 3. 칼라비의 구성

칼라비는 임의의 복소 사영 공간의 여접다발

T^*\mathbb{CP}^n

이 완비 초켈러 메트릭을 갖는다는 것을 보였다.^[1]

5. 4. K3 곡면과 토러스

고다이라 쿠니히코의 복소 곡면 분류에 따르면, 모든 콤팩트 초켈러 4-다양체는 K3 곡면 또는 콤팩트 토러스

T^4

이다.^[8] (4 (실수) 차원의 모든 칼라비-야우 다양체는 초켈러 다양체인데, 그 이유는 SU(2)가 Sp(1)과 동형이기 때문이다.)

5. 5. 힐베르트 스킴

Beauville에 의해 발견된 것처럼, 콤팩트 초켈러 4-다양체 위의 점의 힐베르트 스킴은 차원이 인 초켈러 다양체이다.^[8] 이것은 두 개의 콤팩트 예시 계열, 즉 K3 곡면 위의 점의 힐베르트 스킴과 일반화된 쿰머 다양체를 발생시킨다.

5. 6. ALE 공간

비콤팩트, 완비, 초켈러 4-다양체는 '''H'''/''G''에 점근한다. 여기서 '''H'''는 사원수를 나타내고, ''G''는 Sp(1)^영어의 유한 부분군이다. 이러한 다양체를 ALE 공간이라고 한다.^[8] 이러한 공간과 다른 점근적 거동을 포함하는 다양한 일반화는 물리학에서 중력 인스턴턴이라는 이름으로 연구된다. 기번스-호킹 안자츠는 원의 작용 하에서 불변인 예시를 제공한다.

5. 7. 게이지 이론과의 관련성

비콤팩트 초켈러 다양체의 많은 예는 반자기 쌍대 양-밀스 방정식의 차원 축소에서 발생하는 특정 게이지 이론 방정식의 해의 모듈라이 공간으로 나타난다.^[9] 인스턴톤 모듈라이 공간,^[10] 모노폴 모듈 공간,^[11] 리만 곡면에 대한 나이젤 히친의 자기 쌍대 방정식의 해의 공간, Nahm 방정식의 해의 공간 등이 있다. 또 다른 예시 종류는 나카지마의 퀘이버 다양체이며,^[12] 이는 표현론에서 매우 중요하다.

6. 응용

초켈러 다양체는 8개의 초전하(4차원에서 $\mathcal N=2$ )를 가진 초대칭 게이지 이론과 밀접하게 관련되어 있다.

6. 1. 비선형 시그마 모형의 모듈러스 공간

16개의 초전하를 가진 비선형 시그마 모형의 모듈러스 공간은 초켈러 다양체를 이룬다.^[18]^[19]

6. 2. 2차원 초등각 장론

초켈러 다양체 위의 2차원 시그마 모형은 𝒩=(4,4) 초등각 장론을 이룬다.^[19]

7. 역사

에우제니오 칼라비가 1979년에 초켈러 다양체를 도입하였다.^[20] 칼라비는 이 논문에서 "홀로노미 군이 콤팩트 군 $\operatorname{Sp}(n)$ ( $n=1,2,\dotsc$ )인 켈러 계량을 발견했으며, 이는 ‘사원수 접공간 구조’라고 불리는 구조의 최초의 알려진 예인 것으로 보인다"고 언급하며, ‘초켈러 구조’라는 용어를 선호한다고 밝혔다.

초기 역사, 홀로노미를 이용한 동치 정의, 코호몰로지 연구에 대한 더 자세한 내용은 하위 섹션을 참고할 수 있다.

7. 1. 초기 역사

마르셀 베르제의 1955년 논문^[2]은 리만 홀로노미 군의 분류에 대해 처음으로 언급하면서 홀로노미 Sp(''n'')·Sp(1)을 갖는 비대칭 다양체의 존재에 대한 문제를 제기했다. 1960년대 중반 에드몽 보낭^[3]과 Kraines^[4]의 선구적인 연구를 통해 흥미로운 결과가 증명되었는데, 이들은 그러한 다양체가 평행한 4-형식

\Omega

를 허용한다는 것을 독립적으로 증명했다. 오랫동안 기다려온 강 레프셰츠 정리의 유사성은 1982년에 발표되었다.^[5]

:

\Omega^{n-k}\wedge\bigwedge^{2k}T^*M=\bigwedge^{4n-2k}T^*M.

7. 2. 홀로노미를 이용한 동치 정의

초켈러 다양체는 홀로노미 군이 콤팩트 심플렉틱 군 Sp(''n'')에 포함되는 차원

4n

의 리만 다양체

(M, g)

와 동치이다.^[1]

실제로,

(M, g, I, J, K)

가 초켈러 다양체라면, 각 점

x \in M

에 대한 접공간

T_x M

은 사원수 벡터 공간이며, 어떤 정수

n

에 대해

\mathbb{H}^n

과 동형이다. 여기서

\mathbb{H}

는 사원수의 대수이다. 콤팩트 심플렉틱 군 Sp(''n'')은

I

,

J

,

K

에 대해 선형인

\mathbb{H}^n

의 직교 변환 군으로 간주될 수 있다. 이를 통해 리만 다양체

(M, g)

의 홀로노미 군이 Sp(''n'')에 포함됨을 알 수 있다. 반대로, 차원

4n

의 리만 다양체

(M, g)

의 홀로노미 군이 Sp(''n'')에 포함된다면,

T_x M

을 사원수 벡터 공간으로 만드는

T_x M

에 대한 복소 구조

I_x

,

J_x

,

K_x

를 선택한다. 이러한 복소 구조의 평행 이동은

(M, g, I, J, K)

를 초켈러 다양체로 만드는

M

에 대한 필요한 복소 구조

I, J, K

를 제공한다.

7. 3. 코호몰로지 연구

쿠르노소프(Kurnosov), 솔다텐코프(Soldatenkov), 베르비츠키(Verbitsky)는 모든 콤팩트 초켈러 다양체의 코호몰로지가 호지 구조를 보존하는 방식으로 원환면의 코호몰로지에 포함된다는 것을 보여주었다.

참조

_[1] 논문 Métriques kählériennes et fibrés holomorphes http://www.numdam.or[...]
_[2] 논문 Sur les groups d'holonomie des variétés à connexion affine et des variétés riemanniennes http://www.numdam.or[...]
_[3] 논문 Structure presque quaternale sur une variété differentiable
_[4] 논문 Topology of quaternionic manifolds https://www.ams.org/[...]
_[5] 논문 Sur l'algèbre extérieure d'une variété presque hermitienne quaternionique
_[6] 논문 Hyperkähler metrics on cotangent bundles
_[7] 논문 A canonical hyperkähler metric on the total space of a cotangent bundle Univ. Studi Roma "La Sapienza", Rome
_[8] 논문 Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle
_[9] 논문 Metrics on the moduli spaces of instantons over Euclidean 4-space
_[10] 서적 The geometry and dynamics of magnetic monopoles Princeton University Press, Princeton, NJ
_[11] 논문 The self-duality equations on a Riemann surface
_[12] 논문 Instantons on ALE spaces, quiver varieties, and Kac-Moody algebras
_[13] 저널 Hyperkähler manifolds http://www.numdam.or[...] 1991-11
_[14] 저널 Compact hyperkähler manifolds: basic results 1998
_[15] 저널 Cohomology of compact hyperkähler manifolds and its applications 1996-07
_[16] 저널 The second Betti number of hyperkähler manifolds 2014
_[17] 저널 On the Betti numbers of irreducible compact hyperkähler manifolds of complex dimension four http://bogomolov-lab[...] 2001
_[18] 저널 Higgs Branch, Hyper-Kähler quotient and duality in SUSY N=2 Yang–Mills theories 1997-10-30
_[19] 저널 Hyperkähler metrics and supersymmetry http://projecteuclid[...] 1987-12
_[20] 저널 Métriques kähleriennes et fibrés holomorphes http://www.numdam.or[...] 1979

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com